【题目】已知二次函数.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)∵二次函数的图象经过坐标原点O(0,0),
∴代入得:,解得:m=±1。
∴二次函数的解析式为:或。
(2)∵m=2,∴二次函数为:。
∴抛物线的顶点为:D(2,-1)。
当x=0时,y=3,
∴C点坐标为:(0,3)。
(3)存在,当P、C、D共线时PC+PD最短。
过点D作DE⊥y轴于点E,
∵PO∥DE,∴△COP∽△CED。
∴,即,解得:
∴PC+PD最短时,P点的坐标为:P(,0)。
【解析】
试题(1)根据二次函数的图象经过坐标原点O(0,0),直接代入求出m的值即可。
(2)把m=2,代入求出二次函数解析式,利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可。
(3)根据两点之间线段最短的性质,当P、C、D共线时PC+PD最短,利用相似三角形的判定和性质得出PO的长即可得出答案。
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【题目】综合与探究
问题情境
在综合实践课上,老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”.如图,在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.
操作发现
以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点,,的对应点分别为,,.
(1)如图①,当点落在边上时,求点的坐标;
继续探究
(2)如图②,当点落在线段上时,与交于点.
①求证;
②求点的坐标.
拓展探究
(3)如图①,点是轴上任意一点,点是平面内任意一点,是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,点M从点D出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,同时,点N从点B出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P,连接AC交NP于点Q,连接MQ.设运动时间为t秒.
(1)AM= ,AP= .(用含t的代数式表示)
(2)当四边形ANCP为平行四边形时,求t的值
(3)如图2,将△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某时刻t,
①使四边形AQMK为为菱形,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由
②使四边形AQMK为正方形,求 出AC的长.
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【题目】一条公路旁依次有,,三个村庄,甲乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村,甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示,下列结论:
①,两村相距; ②出发后两人相遇;
③甲每小时比乙多骑行; ④相遇后,乙又骑行了时两人相距.
其中正确的有_____________________.(填序号)
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【题目】已知点(﹣1,y1)、(﹣2,y2)、(2,y3)都在二次函数y=﹣3ax2﹣6ax+12(a>0)上,则y1、y2、y3的大小关系为( )
A.y1>y3>y2B.y3>y2>y1C.y3>y1>y2D.y1>y2>y3
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,O为原点,点A(2,0),点P(1,m)(m>0)和点Q关于x轴对称.过点P作PB∥x轴,与直线AQ交于点B,如果AP⊥BO,求点P的坐标.
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【题目】如图1,是由一些棱长为单位1的相同的小正方体组合成的简单几何体.
(1)图中有 个小正方体;
(2)请在图1右侧方格中分别画出几何体的主视图、左视图;
(3)不改变(2)中所画的主视图和左视图,最多还能在图1中添加 个小正方体.
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【题目】如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系中,△OAB的三个顶点O(0,0)、A(4,1)、B(4,4)均在格点上.
(1)画出△OAB绕原点顺时针旋转后得到的△,并写出点的坐标;
(2)在(1)的条件下,求线段在旋转过程中扫过的扇形的面积.
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【题目】如图,A(4,0),B(1,3),以OA、OB为边作□OACB,反比例函数(k≠0)的图象经过点C.则下列结论不正确的是( )
A.□OACB的面积为12
B.若y<3,则x>5
C.将□OACB向上平移12个单位长度,点B落在反比例函数的图象上.
D.将□OACB绕点O旋转180°,点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上.
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