Question

在关于x的方程x²-2ax+

1

4

b²=0中，a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，且这个方程的两根之差的绝对值为8．则这个三角形的内切圆面积是

 

．

Answer 1

分析：先根据一元二次方程的根与系数的关系知：x₁+x₂=2a，x₁x₂=

1

4

b²，利用（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64可列方程4a²-b²=64；再根据a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，可得到S_△=

1

2

b×

1

2

×

4a2-b2

=12，与4a²-b²=64联立方程即可解得b，a的值；再设内切圆半径为x，利用AD²+DF²=AF²=（AE-EF）²，列方程2²+x²=（4-x）²，解得半径x，代入三角形的内切圆面积公式即可求解．

解答：解：如图，AB=AC=a，BC=b，AE⊥BC，FD⊥AB，圆F是△ABC的内切圆，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

b，AE=

AB2-BE2

=

1

2

4a2-b2

；
∵x₁+x₂=2a，x₁x₂=

1

4

b²，
又∵|x₁-x₂|=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，即4a²-b²=64；
∵a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，
∴S_△=

1

2

b×

1

2

×

4a2-b2

=12，
与4a²-b²=64联立方程解得，b=6，a=5；
设内切圆半径为x，则
EF=DF=x，
∴BE=BD=3，AD=AB-BD=5-3=2，AD²+DF²=AF²=（AE-EF）²，
∴2²+x²=（4-x）²，
解得x=

3

2

；
∴三角形的内切圆面积=π×（

3

2

）²=

9π

4

．

点评：主要考查：等腰三角形的三线合一，三角形内切圆的意义，直角三角形的性质、勾股定理、根与系数的关系．此题难点在于利用根与系数的关系和勾股定理求a，b的值．学生丢分率较高．