Question

如图，矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴上，连接OB，将纸片OABC沿BC折叠，使点A落在点A′处，A′B与y轴交于点F，已知OA=1，AB=2。

（1）设CF=x，则OF=_____；
（2）求BF的长；
（3）设过点B的双曲线为l，试问双曲线l上是否存在一点M，使得以OB为一边的△OBM的面积等于1？若存在，试求出点M的横坐标；若不存在，试说明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2）由轴对称的性质可知：∠FBO=∠OBA
在矩形OABC中，OC∥AB，则∠FOB=∠OBA
∴∠FBO=∠OBA
∴BF=OF=
在Rt△FCB中，BC=OA=1，由勾股定理可得

即：
解得
则BF=OF=。
（3）设双曲线l的解析式为：
又过点B（1，2）
∴，
∴
因为S_△OAB==×1×2=1
∴S_△COB=S_△A′OB=1
∴双曲线l上符合条件的点M，应在与OB平行且距离等于点C到OB的距离的直线上。
直线OB过点（0，0），（1，2）
直线OB的解析式为，则过点C与OB平行的直线为：
点M可能是过点C且与OB平行的直线与双曲线的交点
由，解得
由轴对称性可知，点M可能是过点A且与OB平行的直线与双曲线l的交点
由，解得：
综上，符合条件的点M的横坐标是或x=。