如图1.一个半径为2的半圆在平面作无滑动顺时针滚动.可以把平面看做直线l.初始位置的半圆O与直线l相切于点C.AB∥l.滚动过程中.半圆O′与直线l相切于点D.点A.B.C在半圆O′上的对应点分别为A′.B′.C′．(1)如图2.当顺时针滚动30°时.即∠C′O′D=30°.求CD．(2)如图3.滚动过程中.点O′恰好经过点B．①请直接写出CD=2,②请你求出∠C′O′D,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

5．

如图1，一个半径为2的半圆在平面作无滑动顺时针滚动，可以把平面看做直线l，初始位置的半圆O与直线l相切于点C，AB∥l，滚动过程中，半圆O′与直线l相切于点D，点A、B、C在半圆O′上的对应点分别为A′、B′、C′．
（1）如图2，当顺时针滚动30°时，即∠C′O′D=30°，求CD．
（2）如图3，滚动过程中，点O′恰好经过点B．
①请直接写出CD=2；
②请你求出∠C′O′D；
③图3中，两个阴影面积分别为S₁、S₂，
请直接写出S₁、S₂的大小关系为：S₁＞S₂（填“＞”、“=”或“＜”）
并直接写出S₁+S₂=$\frac{π}{3}$+2-$\sqrt{2}$（计算结果均保留π）

分析（1）用含30°的直角三角形直接计算即可；
（2）①同（1）的方法计算即可；②利用两次顺时针滚动的角度之和即可得出结论；③分别求出扇形和三角形的面积直接比较大小和求和即可．

解答解：（1）在Rt△CO'D中，∠C′O′D=30°，O'D=r=2，
∴O'D=$\sqrt{3}$CD，
∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（2）①∵点O′恰好经过点B．
∴OO'=O'D=OC=CD=2，
故答案为2，
②∵OO'=O'D=OC=CD=2，
∴四边形OCDO'是菱形，
∵∠OCD=90°，
∴四边形OCDO'是正方形，
∵O'C是对角线，
∴∠CO'D=45°，
∵∠C'O'D'=30°，
∴∠DOC'=∠CO'D+∠C'O'D'=75°，
③如图3，∵∠C'O'D'=30°，
∴S₁=$\frac{30π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{3}$＞1
过点D'作D'E⊥OD，
在Rt△O'D'E中，O'D'=2，∠EO'D'=45°，
∴O'E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$O'D'=$\sqrt{2}$，
∴DE=O'D-O'E=2-$\sqrt{2}$，
∴S₂=$\frac{1}{2}$CD•DE=$\frac{1}{2}$×2×（2-$\sqrt{2}$）=2-$\sqrt{2}$＜1，
∴S₁＞S₂，S₁+S₂=$\frac{π}{3}$+2-$\sqrt{2}$
故答案为：＞；$\frac{π}{3}$+2-$\sqrt{2}$

点评此题是圆的综合题，主要考查了扇形的面积，三角形面积公式，正方形的判定，解本题的关键是找出顺时针滚动的角度，在以往将等边三角形滚动的题型上转化到半圆上，是一道难度不大的好题．

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