Question

13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形EFGH的形状．

Answer 1

分析 由三角形中位线的性质，可判定EH∥FG，GH∥EF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形．四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．

解答 答：四边形EFGH是正方形．
证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，
∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
设AC与BD交于点O，AC与EH交于点M
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，同理GH∥AC，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵EH∥BD，
∴∠EMC=∠BOC=90°，
∵HG∥AC，
∴∠EHG=∠EMC=90°，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．