Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，∠EDF＝90°，点E在边AB上且不与点A重合，点F在边BC的延长线上，DE交AC于Q，连接EF交AC于P

（1）求证：△ADE≌△CDF；

（2）求证：PE＝PF；

（3）当AE＝1时，求PQ的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据ASA证明即可．

（2）作FH∥AB交AC的延长线于H，由“AAS”可证△APE≌△HPF，可得PE＝PF；

（3）如图2，先根据平行线分线段成比例定理表示，可得AQ的长，再计算AH的长，根据（2）中的全等可得AP＝PH，由线段的差可得结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE+∠EDC＝90°

∵∠EDF＝90°

∴∠EDC+∠CDF＝90°

∴∠ADE＝∠CDF

在△ADE和△CDF中，

∵

∴△ADE≌△CDF（ASA）．

（2）证明：由（1）知：△ADE≌△CDF，

∴AE＝CF，

作FH∥AB交AC的延长线于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠FCH＝45°，

∵AB∥FH，

∴∠HFC＝∠ABC＝90°，

∴∠FCH＝∠H＝45°，

∴CF＝FH＝AE，

在△AEP和△HFP中，

∵，

∴△APE≌△HPF（AAS），

∴PE＝PF；

（3）∵AE∥CD，

∴，

∵AE＝1，CD＝4，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，

∴AC＝4，

∴AQ＝AC＝，

∵AE＝FH＝CF＝1，

∴CH＝，

∴AH＝AC+CH＝4+＝5，

由（2）可知：△APE≌△HPF，

∴AP＝PH，

∴AP＝AH＝，

∴PQ＝AP﹣AQ＝﹣＝．