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如图1所示,等边△ABC中,AD是BC边上的中线,根据等腰三角形的“三线合一”特性,AD平分∠BAC,且AD⊥BC,则有∠BAD=30°,BD=CD=
1
2
AB
.于是可得出结论“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”.

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请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题:
(1)△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=a,则BC=______;
(2)如图2所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线交AB于点D,垂足为E,当BD=5cm,∠B=30°时,△ACD的周长=______.
(3)如图3所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,那么BE:EA=______.
(4)如图4所示,在等边△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且∠CAD=∠ABE,AD、BE交于点P,作BQ⊥AD于Q,猜想PB与PQ的数量关系,并说明理由.


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(1)∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,且∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=30,∠C=90°,
∴BC=
1
2
AB=
a
2

故填:
a
2


(2)如图2,∵DE是线段BC的垂直平分线,∠ACB=90°,
∴CD=BD,AD=BD.
又∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴AC=
1
2
AB,
∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm.
故填:15cm;

(3)如图3,连接AD.
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中点,
∴∠BAD=60°.
又∵DE⊥AB,
∴∠B=∠ADE=30°,
∴BE=
1
2
BD,AE=
1
2
AD,
∴BE:EA=BD:AD=tan60°=
3
:1.
故填:
3
:1.

(4)BP=2PQ.理由如下:
∵△ABC为等边三角形.
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,
在△BAE和△ACD中,
AE=CD
∠BAC=∠ACB
AB=AC

∴△BAE≌△ACD(SAS),
∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BPQ为△ABP外角,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD.
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.
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AC
AB
=
CD
DB
AC1
AB1
=
C1D
DB1
是否都成立?
(2)请你继续探究:若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角角平分线,请问
AC
AB
=
CD
DB
一定成立吗?并证明你的判断.
(3)如图2所示Rt△ABC中,∠ACB=90?,AC=8,AB=
40
3
,E为AB上一点且AE=5,CE交其内角角平分线AD于F.试求
DF
FA
的值.

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(1)求抛物线C的解析式;
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①若P为线段AB上一动点,PD⊥y轴于点D,求△APD面积的最大值;
②过线段OA上的两点E,F分别作x轴的垂线,交折线O-B-A于点E1,F1,再分别以线段EE1,FF1为边作如图2所示的等边△EE1E2,等边△FF1F2.点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动,点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动.当△EE1E2与△FF1F2的某一边在同一直线上时,求时间t的值.

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1
2
AB
.于是可得出结论“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”.

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题:
(1)△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=a,则BC=
a
2
a
2

(2)如图2所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线交AB于点D,垂足为E,当BD=5cm,∠B=30°时,△ACD的周长=
15cm
15cm

(3)如图3所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,那么BE:EA=
3:1
3:1

(4)如图4所示,在等边△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且∠CAD=∠ABE,AD、BE交于点P,作BQ⊥AD于Q,猜想PB与PQ的数量关系,并说明理由.

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