Question

7．【定义表述】我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”，例如点P（2，4）的特征线有：x=2，y=4，y=x+2，y=-x+6
【定义理解】直接写出点P（a，b）（a≠b）所有的特征线．
【定义应用】如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线y=$\frac{2}{9}$（x-m）²+n经过B、C两点，顶点P在正方形OABC内部，点P有一条特征线是x=3．
（1）求此抛物线对应的函数表达式．
（2）点Q在与一、三象限角平分线平行的点P的特征线上，当AQ+BQ的值最小时，求这个最小值．
（3）点M是AB边上除点A外的任意一点，连结OM，将△OAM沿OM折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的P点的特征线上时，将抛物线y=$\frac{2}{9}$（x-m）²+n向下平移，使其顶点落在OM上，求平移距离．

Answer 1

分析 【定义理解】根据一个点的“特征线”的定义即可求出点P（a，b）（a≠b）所有的特征线；
【定义应用】（1）根据y=$\frac{2}{9}$（x-m）²+n得出顶点P（m，n），点C（0，$\frac{2}{9}{m}^{2}+n$），由点P有一条特征线是x=3得到m=3，根据抛物线的对称性得出BC=6，由正方形的性质得出OC=BC=6，根据C点纵坐标为6得出$\frac{2}{9}$×3²+n=6，求出n=4，即可求得此抛物线对应的函数表达式；
（2）作点B关于直线y=x+1的对称点B′，连结AB′交直线y=x+1于点Q，如图①，则此时AQ+BQ的值最小，最小值为AB′的长；
（3）分两种情形①当点A′落在直线x=3上时，如图②，②当点A′落在直线y=4上时，如图③，分别求出直线OM的解析式，求出直线OM与对称轴的交点坐标即可解决问题；

解答 解：【定义理解】
∵在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”，
∴点P（a，b）（a≠b）所有的特征线为：x=a，y=b，y=x-a+b，y=-x+a+b；

【定义应用】
（1）∵抛物线y=$\frac{2}{9}$（x-m）²+n的顶点为P，与y轴交于点C，
∴点P的坐标为：（m，n），点C的坐标为：（0，$\frac{2}{9}{m}^{2}+n$），
∵点P有一条特征线是x=3，
∴m=3，
∵点B、C均在抛物线上，
∴BC=3×2=6，
∵四边形OABC为正方形，
∴OC=BC=6，
∴$\frac{2}{9}$×3²+n=6，解得：n=4，
∴此抛物线对应的函数表达式为：y=$\frac{2}{9}$（x-3）²+4；

（2）由（1）可知，点Q在与一、三象限角平分线平行的点P的特征线为y=x+1．
作点B关于直线y=x+1的对称点B′，连结AB′交直线y=x+1于点Q，如图①，则此时AQ+BQ的值最小．
过点B′作B′D⊥x轴于点D，则BB′=$\sqrt{2}$，B′D=1+6=7，DA=1．
∵在Rt△AB′D中，∠ADB′=90°，
∴AB′=$\sqrt{A{D}^{2}+B′{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{7}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴AQ+BQ的最小值为5$\sqrt{2}$；

（3）①当点A′落在直线x=3上时，如图②．
设直线x=3与x轴交于点E，与OM交于点F，则有OA′=OA=6，OE=3，∠A′OM=∠AOM，
在Rt△A′OE中，∠A′EO=90°，cos∠A′OE=$\frac{OE}{OA′}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A′OE=60°，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠A′OE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴EF=OE•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴当抛物线顶点落在OM上的平移距离为4-$\sqrt{3}$．
②当点A′落在直线y=4上时，如图③，
设直线y=4与y轴交于点G，与AB交于点H．
则有OA′=OA=6，OG=AH=4，且△GOA′≌△HA′M，
∴$\frac{A′G}{HM}$=$\frac{OG}{A′H}$，
在Rt△A′GO中，∠A′GO=90°，
A′G=$\sqrt{OA{′}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴A′H=GH-A′G=6-2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{4-AM}$=$\frac{4}{6-2\sqrt{5}}$，
∴AM=9-3$\sqrt{5}$，
∴直线OM的解析式为y=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$x，
当x=3时，y=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$×3=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$，
∴当抛物线顶点落在OM上的平移距离为4-$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}-1}{2}$，
∴当抛物线顶点落在OM上的平移距离为4-$\sqrt{3}$或$\frac{3\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、翻折变换、正方形的性质、勾股定理、一次函数的应用、轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题，属于中考压轴题．