Question

（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=，求sinE的值.

Answer 1

（1）证明：连接OA
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵OA＝OB，OP⊥AB于C
∴BC＝CA，PB＝PA
∴△PBO≌△PAO
∴∠PBO＝∠PAO＝90°
∴PB为⊙O的切线
（2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90°
由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP
∴△ADE∽△POE
∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC  ∵tan∠ABE="1/2  " ∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t
∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m
∵PA=PB∴PB=3m
∴sinE=PB/EP=3/5
（2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC  ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，
∴PA＝PB＝2t 过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC
∴AF=t  进而由勾股定理得PF＝t
∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5

略