Question

如图，已知A₁，A₂，A₃，…，A_n是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，分别过点A₁，A₂，A₃，…，A_n+1作x轴的垂线交一次函数y=

1

2

x的图象于点B₁，B₂，B₃，…，B_n+1，连接A₁B₂，B₁A₂，A₂B₃，B₂A₃，…，A_nB_n+1，B_nA_n+1依次产生交点P₁，P₂，P₃，…，P_n，则P_n的坐标是

 

．

Answer 1

分析：由已知可以得到A₁，A₂，A₃，…点的坐标分别为：（1，0），（2，0），（3，0），…，又得作x轴的垂线交一次函数y=

1

2

x的图象于点B₁，B₂，B₃，…的坐标分别为（1，

1

2

），（2，1），（3，

3

2

），…，由此可推出点A_n，B_n，A_n+1，B_n+1的坐标为，（n，0），（n，

n

2

），（n+1，0），（n+1，

n+1

2

）．由函数图象和已知可知要求的P_n的坐标是
直线A_nB_n+1和直线A_n+1B_n的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点P_n．

解答：解：由已知得A₁，A₂，A₃，…的坐标为：（1，0），（2，0），（3，0），…，
又得作x轴的垂线交一次函数y=

1

2

x的图象于点B₁，B₂，B₃，…的坐标分别为（1，

1

2

），（2，1），（3，

3

2

），…．
由此可推出A_n，B_n，A_n+1，B_n+1四点的坐标为，（n，0），（n，

n

2

），（n+1，0），（n+1，

n+1

2

）．
所以得直线A_nB_n+1和A_n+1B_n的直线方程分别为：
y-0=

0- n+1 2

n-(n+1)

（x-n）+0，
y-0=

0- n 2

n+1-n

（x-n-1）+0，
即

y= n+1 2 (x-n) y=- n 2 (x-n-1)

，
解得：

x=n+ n 2n+1 y= n2+n 4n+2

，
故答案为：（n+

n

2n+1

，

n2+n

4n+2

）．

点评：此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力．解答此题的关键是先确定相交于P_n点的两直线的方程．