Question

已知：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=2

3

，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵OC=OB，AB=BP，
∴∠OCB=∠OBC，∠PAB=∠PBA，
∵AP为圆O的切线，
∴∠PAB=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠PBA+∠OBA=90°，即∠PBO=90°，
则BP为圆O的切线；

（2）设圆的半径为r，则AC=2r，
在Rt△ABC中，AC=2r，BC=2，
根据勾股定理得：AB=

AC2-BC2

=2

r2-1

，
∵∠PAB=∠C，∠PBA=∠OBC，
∴△PAB∽△OCB，
∴

PA

OC

=

AB

BC

，即

2 3

r

=

2 r2-1

2

，
解得：r=2．
则圆的半径为2．