【题目】如图,O是正方形ABCD边上一点,以O为圆心,OB为半径画圆与AD交于点E,过点E作⊙O的切线交CD于F,将△DEF沿EF对折,点D的对称点D'恰好落在⊙O上.若AB=6,则OB的长为_____.
【答案】
【解析】
连接OE、OD′,作OH⊥ED′于H,通过证得AEO≌△HEO(AAS),AE=EH=ED=2,设OB=OE=x.则AO=6﹣x,根据勾股定理得x2=22+(6﹣x)2,解方程即可求得结论.
解:连接OE、OD′,作OH⊥ED′于H,
∴EH=D′H=ED′
∵ED′=ED,
∴EH=ED,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°,AB=AD=6,
∵EF是⊙O的切线,
∴OE⊥EF,
∴∠OEH+∠D′EF=90°,∠AEO+∠DEF=90°,
∵∠DEF=∠D′EF,
∴∠AEO=∠HEO,
在△AEO和△HEO中
∴△AEO≌△HEO(AAS),
∴AE=EH=ED,
∴ 设OB=OE=x.则AO=6﹣x,
在Rt△AOE中,x2=22+(6﹣x)2,
解得:x=,
∴OB=,
故答案为:.
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【题目】如图,△ABC是等腰直角三角形,点P在斜边AB上,将△ABP绕着点A逆时针旋转90°后,点P到达点Q.
(1)在原图上画出旋转后的图形.
(2)若AB=2,PC=3PB,求PQ的长.
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【题目】LED灯具有环保节能、投射范围大、无频闪、使用寿命较长等特点,在日常生活中,人们更倾向于LED灯的使用.某商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个,LED灯泡为每个进价45元,售价为每个60元,普通白炽灯泡进价为每个25元,售价为每个30元.
(1)若LED灯泡按原售价进行销售,而普通白炽灯泡打九折销售,当销售完这批灯泡后可以获利3200元.求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个?
(2)该商场又购进LED灯泡与普通白炽灯泡若干个并展开了降价促销活动,在促销期间,每个LED灯泡的利润为进价的(m+20)%,每个普通白炽灯泡按原售价降低m%销售.结果在促销活动中LDE灯泡的销售量比(1)中的销售量降低了m%,普通白炽灯泡销售量比(1)中销售量上升了20%,活动共获利2400元,求m的值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的QO分别与BC、AC交于点D、E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)求证:∠EDF=∠DAC.
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【题目】设二次函数y=ax2+bx+a-5(a、b为常数,a≠0),且2a+b=3.
(1)若该二次函数的图象经过点(-1,4),求该二次函数的解析式.
(2)无论a取何常数,这个二次函数的图象始终经过一个定点,求出这个定点坐标.
(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)都在二次函数的图象上,若x0<1,且m>n,求x0的取值范围(用含a的代数式表示)。
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【题目】 如图,大圆O的半径OC是小圆O1的直径,且有OC垂直于圆O的直径AB.圆O1的切线AD交OC的延长线于点E,切点为D.已知圆O1的半径为r,则AO1=_____,DE=_____.
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【题目】如图,将矩形ABCD沿EF对折,点A1恰好落在CD边上的中点处,线段A1B1交BC于点G,若AB=6,AD=9,则CG的长度为______.
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【题目】如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是( )
A. PA=PBB. ∠BPD=∠APDC. AB⊥PDD. AB平分PD
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