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    已知A，A是抛物线y=
    1
    2
    x2上两点，A1B1，A3B3分别垂直于x轴，垂足分别为B1，B3，点C是线段A1A3的中点，过点C作CB2垂直于x轴，垂足为B2，CB2交抛物线于点A2．
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    （1）如图1，已知A1，A3两点的横坐标依次为1，3，求线段CA2的长；
    （2）如图2，若将抛物线y=
    1
    2
    x2改为抛物线y=
    1
    2
    x2-x+1，且A1，A2，A3三点的横坐标为连续的整数，其他条件不变，求线段CA2的长；
    （3）若将抛物线y=
    1
    2
    x2改为抛物线y=ax2+bx+c（a＞0），A1，A2，A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，试猜想线段CA2的长（用a，b，c表示，并直接写出答案）．
    分析：（1）本题都要先根据B1，B2，B3的横坐标来确定B2的横坐标（DB2是梯形A1B1B3A3的中位线，B2是B1B3的中点），
    （2）根据B1，B2，B3的横坐标得出A1，A2，A3的纵坐标，进而可根据CA2=
    A1B1+A3B3
    2
    -A2B2，也就是A3A1纵坐标的差的绝对值的一半减去A2的纵坐标．由此可求出CA2的长．
    解答：解：（1）∵A1，A3的横坐标依次为1，3，
    ∴A1B1=
    1
    2
    ×12=
    1
    2
    ，A3B3=
    1
    2
    ×32=
    9
    2
    ，
    由已知可得A1B1∥CB2∥A3B3．
    又∵C为A1A3的中点，
    ∴B2为B1B3的中点，
    ∴B2点的横坐标为2，
    ∴A2B2=
    1
    2
    ×22=2，
    而CB2=
    1
    2
    （A1B1+A3B3）
    =
    1
    2
    （
    1
    2
    +
    9
    2
    ）+
    5
    2

    ∴CA2=CB2-A2B2=
    5
    2
    -2
    =
    1
    2
    ．

    （2）设A1，A2，A3三点的横坐标依次为n-1，n，n+1，
    则A1B1=
    1
    2
    （n-1）2-（n-1）+1，A2B2=
    1
    2
    n2-n+1，
    A3B3=
    1
    2
    （n+1）2-（n+1）+1，
    由已知可得A1B1∥A3B3∥AB2，
    ∴CB2=
    1
    2
    （A1B1+A3B3）
    =
    1
    2
    [
    1
    2
    （n-1）2-（n-1）+1+
    1
    2
    （n+1）2-（n+1）+1]
    =
    1
    2
    n2-n+
    3
    2
    ，
    ∴CA2=CB2-A2B2=
    1
    2
    n2-n+
    3
    2
    -（
    1
    2
    n2-n+1）=
    1
    2
    ．

    （3）当a＞0时，CA2=a．
    点评：本题主要考查了中位线和二次函数的相关知识，根据中位线确定B2的坐标，进而得出A2点的纵坐标是解题的关键
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    ．

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