Question

【题目】如图：△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若AC=3AE，求DF:CF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根据切线的判定得出即可；

（2）连结BE，由AB是直径可知∠AEB=90°，由AC=3AE可得AB=AC=3AE，EC=4AE，再证明△CFD∽△CEB，得到，即可求出．

（1）连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，点D在⊙O上，

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

BE=，

∵DF⊥CE，

∴DF∥BE，

∴△CFD∽△CEB，

∴.