Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(6，3)，连接AB．若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的邻近点．

（1）判断点D(，)是否是线段AB的邻近点．________（填是或否）；

（2）若点H(m，n)在一次函数y＝x－1的图象上，且是线段AB的邻近点，求m的取值范围；

（3）若一次函数y＝x＋b的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）3≤m≤5；（3）﹣﹣3≤b≤+1

【解析】

（1）根据A、B的坐标得出AB∥x轴，根据点P到直线AB的距离≤1，求出当横坐标2≤x≤6纵坐标2≤y≤4范围内时，点是线段AB的“临近点”，看点的纵坐标是否在y的范围内即可以及在A点的左边到A点的距离≤1，或在B点的右边到B点的距离≤1，点是线段AB的“临近点”；

（2）先求得直线y＝x﹣1与线段AB交于（4，3），然后分两种情况讨论：①当m≥4时，根据线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2≤n≤4，把n＝2和n＝4分别代入n＝m﹣1，求出相应的m值，即可得出点的横坐标m的范围；

（3）如图，分别求得N1、N2的坐标，然后根据待定系数法分别求得横坐标为2，纵坐标为3+或横坐标为6，纵坐标为3﹣时，直线y＝x+b的b值，依此可求b的取值范围．

（1）点D是线段AB的“邻近点”；

∵AD＝＝1，

∴D（，）是线段AB的“临近点”．

（2）如图1，∵点H（m，n）是线段AB的“邻近点”，点H（m，n）在直线y＝x﹣1上，

∴n＝m﹣1；

直线y＝x﹣1与线段AB交于（4，3）

①当m≥4时，有n＝m﹣1≥3，

又AB∥x轴，

∴此时点H（m，n）到线段AB的距离是n﹣3，

∴0≤n﹣3≤1，

∴4≤m≤5，

②当m≤4时，有n＝m﹣1，

∴n≤3，

又AB∥x轴，

∴此时点H（m，n）到线段AB的距离是3﹣n，

∴0≤3﹣n≤1，

∴3≤m≤4，

综上所述，3≤m≤5；

（3）①如图2，

有直线y＝x+b可知∠AN1H＝45°，

∵AH＝1，

∴AN1＝，

∴N1（2，3+），

把横坐标2，纵坐标3+代入直线y＝x+b，可得3+＝2+b，解得b＝+1；

②如图3，

同理证得N2（6，3﹣），

把横坐标6，纵坐标3﹣代入直线y＝x+b，可得3﹣＝6+b，解得b＝﹣﹣3；

故b的取值范围为﹣﹣3≤b≤+1．