Question

a，b，c为非负实数，a²+b²+c²=1，a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

c

+

1

a

)+c(

1

a

+

1

b

) =-3，求a+b+c的值．

Answer 1

考点：因式分解

专题：

分析：首先将原式变形，进而得出a（

1

a

+

1

b

+

1

c

）+b（

1

a

+

1

b

+

1

c

）+c（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=0，得出a+b+c=0或bc+ac+ab=0．进而代入求出答案．

解答：解：将a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

c

+

1

a

)+c(

1

a

+

1

b

) =-3变形如下，
a（

1

b

+

1

c

）+1+b（

1

a

+

1

c

）+1+c（

1

a

+

1

b

）+1=0，
即a（

1

a

+

1

b

+

1

c

）+b（

1

a

+

1

b

+

1

c

）+c（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=0，
∴（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=0，
∴（a+b+c）•

bc+ac+ab

abc

=0，
∴a+b+c=0（舍）或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）=a²+b²+c²=1，
∴a+b+c=±1．
∴a+b+c的值为1，-1．

点评：此题主要考查了因式分解的应用，正确将已知变形得出（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=0是解题关键．