Question

12．已知下列结论：
①平分弦的直线必过圆心；
②三点确定一个圆；
③二次函数y=x²-2mx+2m-2的顶点在x轴下方；
④函数y=kx²+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为-2．
其中正确的有（　　）

• A． ①③
• B． ③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 利用垂径定理对①进行判断；
利用确定圆的条件对②进行判断；
先根据判别式的意义判断抛物线与x轴有两个交点，再利用抛物线开口方向可对③进行判断；
先计算出抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{k}$，再利用二次函数的性质得m≤-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{k}$，然后根据k＜0可得m的最大整数值为-2，原式可对④进行判断．

解答 解：平分线且垂直于弦的直线必过圆心，故①错误；
不在同一直线上的三点确定一个圆，故②错误；
二次函数y=x²-2mx+2m-2，△=4m²-4（2m-2）=4（m-1）²+4＞0，则抛物线与x轴有两个交点，而抛物线开口向上，所以抛物线的顶点在x轴下方，所以③正确；
函数y=kx²+（3k+2）x+1，则抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{3k+2}{2k}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{k}$，而当x＜m时，y随x的增大而增大，所以m≤-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{k}$，而k＜0，则m的最大整数值为-2，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．