Question

【题目】综合与实践

问题情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E是射线AD上的一个动点(不与点A重合)将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接CF交线段AB于点G，交AD于点H、连接EG．

特例分析:

(1)如图1，当点E与点D重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：

①求证：AF=CD；

②用等式表示线段CG与EG之间的数量关系为：_______；

拓展探究:

(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上，且DE=AD时，“博睿”小组发现CF=2EG．请你证明；

(3)如图3，当点E在线段AD的延长线上，且AE=AB时，的值为_______；

推广应用:

(4)当点E在射线AD上运动时，，则的值为______用含m.n的式子表示)．

Answer 1

【答案】(1)①见解析；②CG=2EG；(2)见解析；(3)；(4)

【解析】

(1)①根据等腰直角三角形的性质证得AD=CD，再证明△AFG△ADG，即可证明结论；

②根据①得到BC=2AF，FG=GD，再证明△AFG△BCG，即可得到CG=2EG；

(2)先证得四边形ABEC为正方形，同理得△AFG△AEG和△AFG△BCG，即可得证；

(3)根据等腰直角三角形的性质得到，证得△AFG△BCG，即可求解；

(4) 根据等腰直角三角形的性质得到BC=2AD，继而得到，由△AFG△BCG，即可求解．

(1)①△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，

∴AD=BD=CD=BC，∠BAD=∠CAD=45°，

根据旋转的性质得：AF=AD，∠DAF=90°，

∴∠GAF=∠GAD=45°，

在△AFG和△ADG中，

，

∴△AFG△ADG，

∴AF=AD，

∴AF=CD；

②CG=2EG，理由如下：

由①得：∠GAF=∠B=45°，AF=BC，

∴AF∥BC，2AF=BC，

∴△AFG△BCG，

∴，

∴CG=2FG，

∵△AFG△ADG，

∴FG=DG，即FG=EG，

∴CG=2EG；

(2) 连接EB、EC，

∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE=AD，

∴DE=AD＝BD=CD，且AE⊥BC，∠BAC=90°，

∴四边形ABEC为正方形，

∴BC=AE，

根据旋转的性质得：AF=AE，∠EAF=90°，

∴∠GAF=∠GAE=45°，

在△AFG和△AEG中，

，

∴△AFG△AEG，

∴AF=AE=BC，FG= EG，

在△AFG和△BCG中，

，

∴△AFG△BCG，

∴FG= CG，

∴FG= CG= EG，

∴CF=2EG；

(3) 同理得：FG= EG，

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴，即，

同理得：△AFG△BCG，

∴，

∴，

∴，

∴；

(4)同理可得：FG= EG，BC=2AD，AF=AE，

∵，

∴，

同理可得：△AFG△BCG，

∴，

∴，

∴，

∴；