【题目】在平面直角坐标系中,对于点和,给出如下定义:
如果,那么称点为点的“伴随点”.
例如:点的“伴随点”为点;点的“伴随点”为点.
(1)直接写出点的“伴随点”的坐标.
(2)点在函数的图象上,若其“伴随点”的纵坐标为2,求函数的解析式.
(3)点在函数的图象上,且点关于轴对称,点的“伴随点”为.若点在第一象限,且,求此时“伴随点”的横坐标.
(4)点在函数的图象上,若其“伴随点”的纵坐标的最大值为,直接写出实数的取值范围.
【答案】(1)点A'的坐标为(2,1);(2)y=x+3;(3)D'的横坐标为;(4)-2≤n≤0、1≤n≤3
【解析】
(1)根据题意,,则,即可求解.
(2)分时,两种情况分别求解.
(3)设点C的横坐标为n,点C在函数y=-x2+4的图象上,CD=DD',即可求解.
(4)通过画图即可求解.
解:(1)点A'的坐标为(2,1).
(2)①当m≥0时,
m+1=2,m=1;
∴B(1,2),
∵点B在一次函数y=kx+3图象上,
∴k+3=2,
解得:k=-1;
∴一次函数解析式为y=-x+3;
②当m<0时,
m+1=-2,m=-3;
∴B(-3,-2).
∵点B在一次函数y=kx+3图象上,
∴-3k+3=-2,
解得:k=,
∴一次函数解析式为y=x+3;
(3)设点C的横坐标为n,点C在函数y=-x2+4的图象上,
∴点C的坐标为(n,-n2+4),
∴点D的坐标为(-n,-n2+4),D'(-n,n2-4);
∵CD=DD',
∴2n=2(-n2+4),
解得:n=;
∵点C在第一象限,
∴取,(舍);
∴D'的横坐标为.
(4)-2≤n≤0、1≤n≤3.
解析如下:
当左边的抛物线在上方时,如图①、图②.-2≤n≤0,
当右边的抛物线在上方时,如图③、图④.1≤n≤3;
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【题目】二次函数为常数,中的与的部分对应值如下表:
x | -1 | 0 | 3 |
y | n | -3 | -3 |
当时,下列结论中一定正确的是________(填序号即可)
①;②当时,的值随值的增大而增大;③;④当时,关于的一元二次方程的解是,.
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【题目】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成.已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍,且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天.
(1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米?
(2)如果甲工程队每天需工程费7000元,乙工程队每天需工程费5000元,若甲队先单独工作若干天,再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务,支付工程队总费用不超过79000元,则两工程队最多可以合作施工多少天?
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+1与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,点A的坐标为(﹣1,0),对称轴为直线x=1.
(1)求点B的坐标及抛物线的解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P,使△PBC的面积为1,求出点P的坐标.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.
(1)求证:BD=BF;
(2)填空:
①若⊙O的半径为5,tanB=,则CF= ;
②若⊙O与BF相交于点H,当∠B的度数为 时,四边形OBHE为菱形.
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【题目】为了解游客对某景区的满意度,特对游客采取随机抽样的方式进行问卷调查,调查的结果分为A,B,C,D四类,其含意依次表示为“非常满意”、“比较满意”、“基本满意”和“不太满意”,划分类别后的数据整理如表1(不完整).
(1)求表中的数据a和b.
(2)如果根据表中频数画扇形统计图,那么类别为B的频数所对应的扇形圆心角是几度?
(3)已知该景区每日游客限流3000名,估计一天的游客中类别C的游客人数.
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【题目】已知:点M是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点M不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BM作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点.
⑴如图1,当点M与点O重合时,OE与OF的数量关系是 .
⑵直线BM绕点B逆时针方向旋转,且∠OFE=30°.
①如图2,当点M在线段AC上时,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请你写出来并加以证明;
②如图3,当点M在线段AC的延长线上时,请直接写出线段CF、AE、OE之间的数量关系.
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