【题目】已知圆O的半径长为2,点A、B、C为圆O上三点,弦BC=AO,点D为BC的中点,
(1)如图,连接AC、OD,设∠OAC=α,请用α表示∠AOD;
(2)如图,当点B为的中点时,求点A、D之间的距离:
(3)如果AD的延长线与圆O交于点E,以O为圆心,AD为半径的圆与以BC为直径的圆相切,求弦AE的长.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)连接OB、OC,可证△OBC是等边三角形,根据垂径定理可得∠DOC等于30°,OA=OC可得∠ACO=∠CAO=α,利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD的值.
(2)连接OB、OC,可证△OBC是等边三角形,根据垂径定理可得∠DOB等于30°,因为点D为BC的中点,则∠AOB=∠BOC=60°,所以∠AOD等于90°,根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD、AD的长.
(3)分两种情况讨论:两圆外切,两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系,求出AD的长,再过O点作AE的垂线,利用勾股定理列出方程即可求解.
(1)如图1:连接OB、OC.
∵BC=AO
∴OB=OC=BC
∴△OBC是等边三角形
∴∠BOC=60°
∵点D是BC的中点
∴∠BOD=
∵OA=OC
∴=α
∴∠AOD=180°-α-α-=150°-2α
(2)如图2:连接OB、OC、OD.
由(1)可得:△OBC是等边三角形,∠BOD=
∵OB=2,
∴OD=OBcos=
∵B为的中点,
∴∠AOB=∠BOC=60°
∴∠AOD=90°
根据勾股定理得:AD=
(3)①如图3.圆O与圆D相内切时:
连接OB、OC,过O点作OF⊥AE
∵BC是直径,D是BC的中点
∴以BC为直径的圆的圆心为D点
由(2)可得:OD=,圆D的半径为1
∴AD=
设AF=x
在Rt△AFO和Rt△DOF中,
即
解得:
∴AE=
②如图4.圆O与圆D相外切时:
连接OB、OC,过O点作OF⊥AE
∵BC是直径,D是BC的中点
∴以BC为直径的圆的圆心为D点
由(2)可得:OD=,圆D的半径为1
∴AD=
在Rt△AFO和Rt△DOF中,
即
解得:
∴AE=
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【题目】如图,△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连接EF交AB于H,则下列结论: ①AE⊥AF;②EF:AF=:1;③AF2=FHFE;④FB:FC=HB:EC.正确的是___.
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【题目】如图,已知正方形OEFG的顶点O与正方形ABCD的中心O重合,若正方形OEFG绕O点旋转.
(1)探究:在旋转的过程中线段BE与线段CG有什么数量关系及位置关系?证明你的结论;
(2)若正方形ABCD的边长为a,探究:在旋转过程中四边形OMCN的面积是否发生变化?若不变化求其面积,若变化指出变化过程.
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【题目】在奉贤创建文明城区的活动中,有两段长度相等的彩色道砖铺设任务,分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色道砖的长度y(米)与施工时间x(时)之间关系的部分图象.请解答下列问题:
(1)求乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式;
(2)如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6小时后,施工速度增加到12米/时,结果两队同时完成了任务.求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,过点A的圆O交边AB于点E,交边AD于点F,已知AD=5,AE=2,AF=4.如果以点D为圆心,r为半径的圆D与圆O有两个公共点,那么r的取值范围是______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,0),C(4,4).
(1)按下列要求作图:
①将△ABC向左平移4个单位,得到△A1B1C1;
②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°,得到△A2B2C2.
(2)求点C1在旋转过程中所经过的路径长.
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【题目】已知点A(﹣3,y1),B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上,点P(m,n)是该抛物线的顶点,若y1>y2≥n,则m的取值范围是( )
A.﹣3<m<2B.﹣<m<-C.m>﹣D.m>2
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【题目】如图,从一架水平飞行的无人机的尾端点测得正前方的桥的左端点俯角为,且,无人机的飞行高度米,桥的长度为1255米.
(1)求点到桥左端点的距离;
(2)若从无人机前端点测得正前方的桥的右端点的俯角为,求这架无人机的长度.
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【题目】“长跑”是中考体育必考项目之一,邓州市某中学为了了解九年级学生“长跑”的情况,随机抽取部分九年级学生测试成绩(男子1000米,女子800米),按长跑时间长短依次分为A,B,C,D四个等级进行统计,制作出如下两个不完整的统计图,根据所给信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,C对应的扇形圆心角是 度;
(2)补全条形统计图;
(3)所抽取学生的“长跑”测试成绩的中位数会落在 等级;
(4)该校九年级有675名学生,请估计“长跑”测试成绩达到A级的学生有多少人?
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