Question

13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=-1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=-12x+16上，点（3，-4）在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设y=ax²+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（-$\frac{7}{2}$，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围．
（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合）．设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-8．将（3，-4）代入得抛物线的解析式为y=4（x-2）²-8，即可得到结论；
（2）由题意得：C（0，8），M（2，-8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA=$\frac{7}{2}$，根据相似三角形的性质得到x=$\frac{24}{7}$，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+$\sqrt{2}$，0），于是得到结论；
（3）解方程组得到D（-1，28）得到Q（t，-12t+16）（-1≤t＜2），①当-1≤t＜0时，②当0＜t＜$\frac{4}{3}$时，③当$\frac{4}{3}$＜t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．

解答 解：（1）∵自变量x=-1和x=5对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为x=2．
∵点M在直线l：y=-12x+16上，
∴y_M=-8．
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-8．
将（3，-4）代入得：a-8=-4，解得：a=4．
∴抛物线的解析式为y=4（x-2）²-8，整理得：y=4x²-16x+8．
（2）由题意得：C（0，8），M（2，-8），
如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，
设CP的延长线交x轴于D，
则△ACD是等腰三角形，
∴OD=OA=$\frac{7}{2}$，
∵P点的横坐标是x，
∴P点的纵坐标为4x²-16x+8，
∵PH∥OD，
∴△CHP∽△COD，
∴$\frac{CH}{OC}=\frac{PH}{OD}$，
∴x=$\frac{24}{7}$，
过C作CE∥x轴交抛物线与E，
则CE=4，
设抛物线与x轴交于F，B，
则B（2+$\sqrt{2}$，0），
∴y=ax²+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，
∴当x=$\frac{24}{7}$时，∠PCO=∠ACO，
当2+$\sqrt{2}$＜x＜$\frac{24}{7}$时，∠PCO＜∠ACO，
当$\frac{24}{7}$＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO；
（3）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-12x+16}\\{y=4{x}^{2}-16x+8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=28}\end{array}\right.$，
∴B（-1，28），
∵Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），
∴Q（t，-12t+16）（-1≤t＜2），
①当-1≤t＜0时，S=$\frac{1}{2}$（-t）（-12t+16-8）+8（-t）=6t²-12t=6（t-1）²-6，
∵-1≤t＜0，
∴当t=-1时，S_最大=18；
②当0＜t＜$\frac{4}{3}$时，S=$\frac{1}{2}$t•8+$\frac{1}{2}$t（-12t+16）=-6t²+12t=-6（t-1）²+6，∵
0＜t＜$\frac{4}{3}$，
∴当t=1时，S_最大=6；
③当$\frac{4}{3}$＜t＜2时，S=$\frac{1}{2}$t•8+$\frac{1}{2}$（12t-16）=6t²-4t=6（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{2}{3}$，
∵开口向上，对称轴为t=1/3，∴当t=2时，s最大，为16，由于t不能等于2，∴本段最大值＜16，
综上所述，最大值为18．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质和判定，方程组的解法，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，函数图象交点等知识点．综合性强．