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    （2007•东城区二模）图（1）是边长不等的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
    （1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图（2））；
    探究：在图（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
    （2）操作：将图（1）中的△C′D′E′固定，将△ABC 移动，使顶点C落在C′D′的中点，边AC交E′D′于M，边BC交C′E′于N．若△C′D′E′的边长为a，∠ACD′=α （30°＜α＜90°）（图（3））；
    探究：在图（3）中线段C′N•D′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C′N•D′M的值；如果有变化，请说明理由．
    分析：（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，求出∠DCA=∠ECB，根据SAS证出△DCA≌△ECB即可；
    （2）根据等边三角形性质和三角形的内角和定理求出∠C′=∠D′，∠CMD′=∠C′CN，推出△CMD′∽△NCC′，得出比例式，代入求出即可．
    解答：（1）BE=AD，
    证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
    ∴AC=BC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
    ∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
    ∴∠DCA=∠ECB，
    ∵在△DCA和△ECB中
    DC=CE
    ∠DCA=∠ECB
    AC=BC
    ，
    ∴△DCA≌△ECB（SAS），
    ∴BE=AD．

    （2）解：线段C′N•D′M的值不随α的变化而变化，
    ∵△C′D′E′的边长为a，C是C′D′的中点，
    ∴CD′=CC′=
    a
    2
    ，
    ∵△C′D′E′和△ACB是等边三角形，
    ∴∠D′=∠ACB=∠C′=60°，
    ∴∠D′CM+∠C′CN=180°-60°=120°，∠D′CM+∠CMD′=180°-60°=120°，
    ∴∠CMD′=∠C′CN，
    ∵∠C′=∠D′=60°，
    ∴△CMD′∽△NCC′，
    ∴
    C′N
    CD′
    =
    CC′
    D′M
    ，
    ∴C′N•D′M=CD′•CC′=
    a
    2
    ×
    a
    2
    =
    a2
    4
    ，
    即线段C′N•D′M的值不随α的变化而变化，永远是
    a2
    4
    ．
    点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大．
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