Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，

（1）求∠BPE的度数；

（2）若BF⊥AE于点F，试判断BP与PF的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）PF=BP．

【解析】

试题分析：（1）由等边三角形的性质得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可证明△ABD≌△CAE，得到∠ABD=∠CAE，利用外角∠BPE=∠BAP+∠ABD，即可解答

（2）由△ABD≌△CAE得出对应角相等∠ABD=∠CAE，根据三角形的外角性质得出∠BPF=60°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出PF与BP的关系．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴∠ABD=∠CAE，

∵∠BPE=∠BAP+∠ABD，

∴∠BPE=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°．

（2）PF=BP．

∵△ABD≌△CAE，

∴∠ABD=∠CAE，

∵∠BPF=∠BAP+∠ABD，

∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°，

∵BF⊥AE，

∴∠PFB=90°，

∴∠PBF=30°，

∴PF=BP．