Question

如图，在△ABC中，AD、CE是两条高，连接DE，如果BE=2，EA=3，CE=4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请写出三个正确结论   （要求：分别为边的关系，角的关系，三角形相似的关系），并对其中三角形相似的结论给予证明．
边的关系

AC=AB

；
角的关系

∠CAB=∠B

；
三角形相似的关系

△BED∽△BCA

．

Answer 1

分析：在Rt△AEC中，由勾股定理知，AC²=AE²+CE²，解得AC=5，所以AC=AB=AE+BE=5，∠CAB=∠B；因为AD、CE是两条高，所以∠AEC=∠ADC=90°，即点A、C、D、E是在以AC为直径的圆上，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角知，有∠DEB=∠ACB，∠BDE=∠BAC，得△BED∽△BCA．

解答：解：有AC=AB=5，∠CAB=∠B，△BED∽△BCA．
证明：在Rt△AEC中，由勾股定理知，AC²=AE²+CE²，解得AC=5，
∴AC=AB=5，∠ACB=∠B．
又∵AD、CE是两条高，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴点A、C、D、E是在以AC为直径的圆上，
∴∠DEB=∠ACB，∠BDE=∠BAC，
∴△BED∽△BCA．

点评：本题是一道结论开放性题答案不唯一，利用了等边对等角，四点共圆的判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质求解即可．