Question

（2012•泸州）如图，一次函数y=ax+b的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，

3

）、B（3，0），与反比例函数y=

k

x

的图象在第一象限交于C、D两点．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）若AC•AD=

3

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）把点A（0，

3

）、B（3，0）代入一次函数y=ax+b求出ab的值即可得出此函数的解析式；
（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，再由AB两点的坐标判断出∠ABO的度数，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立一次函数与反比例函数的解析式可得出x₁•x₂=

3

k，在Rt△ACE与Rt△ADF中可分别用x₁，x₂表示出AC及AD的长，再由AC•AD=

3

即可求出k的值．

解答：解：（1）∵一此函数y=ax+b的图象经过点A（0，

3

），（3，0），
∴

b= 3 3a+b=0

，解得

a=- 3 3 b= 3

，
∴一次函数的解析式为：y=-

3

3

x+

3

；

（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，
在Rt△AOB中，
∵AO=

3

，BO=3，
∴∠ABO=30°，
∵直线AB与双曲线y=

k

x

相交于点C、D，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵

y=- 3 3 x+ 3 y= k x

，得x²-3x+

3

k=0，
∴x₁•x₂=

3

k，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE=∠ABO=30°，CE=x₁，
∴AC=

x1

3

•2=

2 3

3

x₁，
同理，在Rt△ADF中，AD=

x2

3

•2=

2 3

3

x₂，
∵AC•AD=

3

，
∴

2 3

3

x₁•

2 3

3

x₂=

3

，即x₁•x₂=

3 3

4

，
∴

3

k=

3 3

4

，
∴k=

3

4

．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．