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在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.

(1)如图1,当点A的横坐标为    时,矩形AOBC是正方形;
(2)如图2,当点A的横坐标为时,
①求点B的坐标;
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2,试判断抛物线y=-x2经过平移交换后,能否经过A,B,C三点?如果可以,说出变换的过程;如果不可以,请说明理由.

解:(1) -1。
(2) ①过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,

当x=-时,y=(-)2
即OE=,AE=
∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°,21世
∠AOE+∠EAO=90°,
∴∠EAO=∠BOF。
又∵∠AEO=∠BFO=90°,∴△AEO∽△OFB。

设OF=t,则BF=2t,∴t2=2t,解得:t1=0(舍去),t2=2。
∴点B(2,4)。
②过点C作CG⊥BF于点G,
∵∠AOE+∠EAO=90°,∠FBO+∠CBG=90°,∠EOA=∠FBO,
∴∠EAO=∠CBG。
在△AEO和△BGC中,∠AEO=∠G=900,∠EAO=∠CBG,AO=BC,
∴△AEO≌△BGC(AAS)。∴CG=OE=,BG=AE=
∴xc=2-,yc=4+。∴点C()。
设过A(-)、B(2,4)两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c,由题意得,
,得
∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2。
∵当x=时,y=-()2+3×+2=,∴点C也在此抛物线上。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2=-(x-)2
平移方案:先将抛物线y=-x2向右平移个单位,再向上平移个单位得到抛物线
y=-(x-)2

解析

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(1)当点B坐标为(1,0)时,求点C的坐标;
(2)如果sinA和cosA是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两个实数根,过原点O作OD⊥AC,垂足为D,且点D的纵坐标为a2,求b的值.

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