Question

已知：二次函数y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m为实数．
（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒数和为

2

3

，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：判断二次函数y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3与x轴的交点情况，需要把问题转化为求方程x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0的判别式的符号．而已知二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），相当于已知此方程两根为x₁，x₂．可运用根与系数的关系解题，所求m的值不受限制，结果有两个．

解答：解：（1）∵△=b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-2m-3）=4m²-8m+4-4m²+8m+12=16＞0，
∴不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）∵x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=m²-2m-3，

1

x1

+

1

x2

=

2

3

，
即

x1+x2

x1x2

=

2

3

，

2(m-1)

m2-2m-3

=

2

3

，
解得m=0或5，
二次函数解析式为：y=x²+2x-3或y=x²-8x+12．

点评：主要考查了二次函数图象的性质与一元二次方程根的情况之间的关系，以及根与系数的关系的运用．