Question

12．如图，直线1₁：y₁=k₁x+b与反比例y=$\frac{m}{x}$相交于A（-1，6）和B（-3，a），直线1₂：y₂=k₂x与反比例函数y=$\frac{m}{x}$相交于A、C两点，连接OB．
（1）求反比例函数的解析式和B、C两点的坐标；
（2）根据图象，直按写出当k₁x+b＞$\frac{m}{x}$时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）点P是反比例函数第二象限上一点，且点P的横坐标大于-3，小于-1，连接PO并延长，交反比例函致图象于点Q．
①试判断四边形APCQ的形状；
②当四边形APCQ的面积为10时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，再由点B在反比例函数图象上即可得出点B的坐标，依据正、反比例的对称性结合点A的坐标即可得出点C的坐标；
（2）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集；
（3）令直线1₁：y₁=k₁x+b与x轴的交点坐标为D，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（4）①根据正、反比例的对称性即可得出P、Q关于原点对称，再结合OA=OC即可得出四边形APCQ为平行四边形；
②连接AP并延长交x轴于点E，设点P坐标为（n，-$\frac{6}{n}$）（-3＜n＜-1），利用待定系数法即可求出直线AP的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点E的坐标，利用分割图形求面积法结合平行四边形APCQ的面积为10，即可得出关于n的一元二次方程，解方程求出n值，将其代入点P的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（-1，6）在反比例y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴6=$\frac{m}{-1}$，解得：m=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$．
当x=-3时，y=2，
∴点B的坐标为（-3，2）．
∵直线1₂：y₂=k₂x与反比例函数y=$\frac{m}{x}$相交于A、C两点，且点A（-1，6），
∴点C的坐标为（1，-6）．
（2）观察函数图象发现：当-3＜x＜-1或x＞0时，直线1₁：y₁=k₁x+b在反比例y=$\frac{m}{x}$的上方，
∴当k₁x+b＞$\frac{m}{x}$时x的取值范围为-3＜x＜-1或x＞0．
（3）令直线1₁：y₁=k₁x+b与x轴的交点坐标为D，如图1所示．
将A（-1，6）、B（-3，2）代入y₁=k₁x+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{6=-{k}_{1}+b}\\{2=-3{k}_{1}+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线1₁：y₁=2x+8．
当y₁=0时，x=-4，
∴D（-4，0），
∴OD=4．
∴S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD=$\frac{1}{2}$•OD•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×4×（6-2）=8．
（4）①∵连接PO并延长，交反比例函致图象于点Q，
∴点P、Q关于原点对称，
∴OP=OQ．
又∵OA=OC，
∴四边形APCQ为平行四边形．
②连接AP并延长交x轴于点E，如图2所示．
设点P坐标为（n，-$\frac{6}{n}$）（-3＜n＜-1），直线AP的解析式为y=kx+c，
将点A（-1，6）、P（n，-$\frac{6}{n}$）代入y=kx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{6=-k+c}\\{-\frac{6}{n}=nk+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{6}{n}}\\{c=\frac{6n-6}{n}}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=-$\frac{6}{n}$x+$\frac{6n-6}{n}$，
当y=0时，x=n-1，
∴E（n-1，0）．
∴S_{四边形APCQ}=4S_△AOP=4×$\frac{1}{2}$•OE•（y_A-y_P）=10，
整理得：6n²+5n-6=0，
解得：n=-$\frac{3}{2}$或n=$\frac{2}{3}$（舍去），
∴点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，4）．
∴当四边形APCQ的面积为10时，点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，4）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例解析式；（2）根据函数图象的位置关系解不等式；（3）求出点D坐标；（4）①根据四边形对角线互相平分得四边形为平行四边形；②利用面积找出关于n的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用点到直线的距离能够降低难度．