Question

【题目】已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于AB两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的表达式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，并求线段BC所在直线的函数表达式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为 对称轴方程为：；（2）点C的坐标为（0，4），直线BC的解析式为；（3）存在点Q，使为等腰三角形，点Q的坐标为：．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或公式法求出对称轴方程；

在抛物线解析式中，令，可求出点C的坐标，令，可求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式；

本问为存在型问题．若为等腰三角形，则有三种可能的情况，需要分类讨论，逐一计算．

试题解析：

∵抛物线的图象经过点A（-2，0），，解得

∴抛物线解析式为 又∵∴对称轴方程为：

（2）在中，令，得，∴C（0，4）；令，即，整理得解得：∴A（-2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得，直线BC的解析式为

（3）∵抛物线的对称轴方程为：可设点Q（3，t），则可求得：①当时，有解得∴②当时，有此方程无实数根，∴此时不能构成等腰三角形；当时，有解得：∴点Q坐标为：．综上所述，存在点Q，使为等腰三角形，点Q的坐标为：．