Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA．

Answer 1

解：如图：以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．
∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，
∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED；
又∵AE=ED，BE=BE，
∴△BEA≌△BED（SAS），
∴BA=BD．
分析：先作辅助线，以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．可证得△EAB≌△DAC，再证得△BEA≌△BED，即可得结论．
点评：本题主要考查了三角形全等的判定和性质，涉及到等边三角形的性质、三角形内角和定理、周角的定义等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．