Question

已知反比例函数y1=

k

x

(k≠0)的图象与一次函数y₂=ax+b（a≠0）的图象交于点A（-4，1）和点B，直线y₂=ax+b分别交x轴、y轴于C、D两点，且tan∠OCD=

1

2

．
（1）求这两个函数的关系式，并求出B点的坐标；
（2）观察图象，直接写出使得y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把A（-4，1）代入y₁=

k

x

求出k，即可得出反比例函数的关系式；求出直线y₂=ax+b与x、y轴的交点，求出OD、OC，根据tan∠OCD=

OD

OC

=

1

2

，求出a=-

1

2

，把A（-4，1）代入一次函数y₂=ax+b得出1=-4a+b，求出b，即可得出一次函数的解析式；
（2）解方程组

y=- 4 x y=- 1 2 x-1

求出两函数的交点的横坐标是-4和2，结合图象即可得出答案．

解答：解：（1）把A（-4，1）代入y1=

k

x

(k≠0)得：1=

k

-4

，
解得：k=-4，
即反比例函数的关系式是y₁=-

4

x

，
y₂=ax+b，
当x=0时，y=b，
当y=0时，x=-

b

a

，
即OC=

b

a

，OD=-b，
∵tan∠OCD=

OD

OC

=

1

2

=

-b

b a

，
∴a=-

1

2

，
∵把A（-4，1）代入一次函数y₂=ax+b得：1=-4a+b，
∴1=-4×（-

1

2

）+b，
∴b=-1，
即一次函数的关系式是y₂=-

1

2

x-1．
解

y=- 4 x y=- 1 2 x-1

得：

x1=-4 y1=1

，

x2=2 y2=-2

，
∵A（-4，1），
∴B的坐标是（2，-2）．

（2）使得y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围是：x＜-4或0＜x＜2．

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好．