Question

8．如图1，抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB，△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；
（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此当CF=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a²+3a+4）．则CF=a，PF=-a²+3a，接下来列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
（3）连接EC．设点P的坐标为（a，-a²+3a+4）．则OE=a，PE=-a²+3a+4，EB=4-a．然后依据S_△PBC=S_{四边形PCEB}-S_△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}-1-b+c=0\\-16+4b+c=0\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ c=4\end{array}$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．

（2）如图1所示：

由题意可知：C点坐标为（0，4），
∴△BOC为等腰直角三角形，且∠BOC为直角．
∵以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似
∴△PCF为等腰直角三角形，又CF⊥直线l，∴PF=CF．
设P（t，-t²+3t+4）（t＞0），则CF=t，P（t，4），
PF=|（-t²+3t+4）-4|=|t²-3t|．
∴t=|t²-3t|，∴t²-3t=±t，解得t=0（舍去），t=2或t=0（舍去），t=4．
∴点P的坐标为 （2，6）或 （4，0）．

（3）如图2所示：连接EC．

设点P的坐标为（a，-a²+3a+4）．则OE=a，PE=-a²+3a+4，EB=4-a．
∵C（0，4），B（4，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+4．
∵S_{四边形PCEB}=$\frac{1}{2}$OB•PE=$\frac{1}{2}$×4（-a²+3a+4），S_△CEB=$\frac{1}{2}$EB•OC=$\frac{1}{2}$×4×（4-a），
∴S_△PBC=S_{四边形PCEB}-S_△CEB=2（-a²+3a+4）-2（4-a）=-2a²+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键．