Question

如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是

BC

的中点，
求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）

Answer 1

分析：方法一：连接OB，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题．
方法二：连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可证明．

解答：证明：（1）连接OB，
则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，
∵AD⊥BC，
∴∠OAB=

1

2

（180°-∠AOB），
=90°-

1

2

∠AOB=90°-∠ACB=∠DAC，
∵E是弧BC的中点，
∴∠EAB=∠EAC，
∴∠EAO=∠EAB-∠OAB=∠EAC-∠DAC=∠EAD．

（2）连接OE，
∵E是

BC

的中点，
∴弧BE=弧EC，
∴OE⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠EAD，
∵OE=OA，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAE=∠EAD．

点评：此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线，方法一：连接OB，方法二：连接OE，属于中档题．