Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC∶BC＝4∶3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1 cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2 cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．

(1)求AC、BC的长；

(2)设点P的运动时间为x(秒)，△PBQ的面积为y(cm²)，当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；

(4)当x＝5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设AC＝4x，BC＝3x，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 　　即：(4x)2＋(3x)2＝102，解得：x＝2，∴AC＝8 cm，BC＝6 cm； 　　(2)①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H 　　∵AP＝x，∴BP＝10－x，BQ＝2x，∵△QHB∽△ACB， 　　∴，∴QH＝x，y＝BP·QH＝(10－x)·x＝－x2＋8x(0＜x≤3)， 　　②当点Q在边CA上运动时，过点Q作Q⊥AB于 　　∵AP＝x， 　　∴BP＝10－x，AQ＝14－2x，∵△AQH′∽△ABC， 　　∴，即：，解得：QH′＝(14－x)， 　　∴y＝PB·Q＝(10－x)·(14－x)＝x2－x＋42(3＜x＜7)； 　　∴y与x的函数关系式为：y＝； 　　(3)∵AP＝x，AQ＝14－x 　　∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，即：， 　　解得：x＝，PQ＝，∴PB＝10－x＝，∴， 　　∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似； 　　(4)存在． 　　理由：∵AQ＝14－2x＝14－10＝4，AP＝x＝5，∵AC＝8，AB＝10， 　　∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， 　　∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC＝AP＝5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， 　　∴△BCM的周长为：MB＋BC＋MC＝PB＋BC＋PC＝5＋6＋5＝16．∴△BCM的周长最小值为16．