Question

25、设关于x的一次函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂，则称函数y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；
（2）若函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题目提供信息，直接将函数解析式代入即可求得函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；
（2）只要证出点P的坐标符和生成函数的解析式即可．

解答：解：（1）当x=1时，y=m（x+1）+n（2x），
=m（1+1）+n（2×1）=2m+2n=2（m+n），
∴m+n=1，
∴y=2；
（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上，
设点P的坐标为（a，b），
∵a₁×a+b₁=b，a₂×a+b₂=b，
∴当x=a时，y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂），
=m（a₁×a+b₁）+（a₂×a+b₂）
=mb+nb=b（m+n）=b，
即点P在此两个函数的生成图象上．

点评：此题是一道新定义信息题，难度不大，考查了同学们的阅读理解和对新知识的接受能力，只要仔细阅读，就可根据相关函数知识作出解答．