Question

3．平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2x+c与x轴交于点A、B，点A在点B的左侧，点A的坐标为（-3，0），点C是抛物线对称轴上一点，且点C的坐标为（-1，2）．
（1）求抛物线的函数关系式和顶点坐标；
（2）设点B关于点C的对称点为D，点P是抛物线对称轴上一点，设直线DP的解析式为y=kx+b，若直线DP与抛物线在直线BC上方的部分图象有两个交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称轴为x=-1及抛物线过点A可列出方程组，求出a，c的值，即可得出抛物线解析式及顶点坐标，
（2）正确画出图形，由B（1，0），C（-1，2），得出BC所在直线的解析式为y=-x+1，再根据点B关于点C的对称点为D，求出点D的坐标，从图上观察直线DP与抛物线在直线BC上方的部分图象有两个交点，即可得出-1＜k＜0．

解答 解：（1）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2}{2a}=-1}\\{9a+6+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3，
∴顶点坐标为（-1，4），
（2）如图，

∵B（1，0），C（-1，2），
∴BC所在直线的解析式为y=-x+1，
∵点B关于点C的对称点为D，
∴D（-3，4），
∵抛物线顶点坐标为（-1，4），
∴当P点在顶点上时k=0，只有一个交点，
∵直线DP与抛物线在直线BC上方的部分图象有两个交点，
∴-1＜k＜0．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是正确求出抛物线解析式画出图形．