【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;
(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,4),
∴ ,解得 ,
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+4
(2)
解:∵E(m,0),B(0,4),PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,
∴P(m,﹣ m2﹣ m+4),G(m,4),
∴PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m;
点P在直线BC上方时,故需要求出抛物线与直线BC的交点,
令4=﹣ m2﹣ m+4,解得m=﹣2或0,
即m的取值范围:﹣2<m<0,
PG的长度为:﹣ m2﹣ m(﹣2<m<0)
(3)
解:在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似.
∵y=﹣ x2﹣ x+4,
∴当y=0时,﹣ x2﹣ x+4=0,
解得x=1或﹣3,
∴D(﹣3,0).
当点P在直线BC上方时,﹣2<m<0.
设直线BD的解析式为y=kx+4,
将D(﹣3,0)代入,得﹣3k+4=0,
解得k= ,
∴直线BD的解析式为y= x+4,
∴H(m, m+4).
分两种情况:
①如果△BGP∽△DEH,那么 ,
即 = ,
解得m=﹣3或﹣1,
由﹣2<m<0,故m=﹣1;
②如果△PGB∽△DEH,那么 ,
即 = ,
由﹣2<m<0,解得m=﹣ .
综上所述,在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为﹣1或﹣ .
【解析】(1)将A(1,0),B(0,4)代入y=﹣ x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)由E(m,0),B(0,4),得出P(m,﹣ m2﹣ m+4),G(m,4),则PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m,点P在直线BC上方时,故需要求出m的取值范围;(3)先由抛物线的解析式求出D(﹣3,0),则当点P在直线BC上方时,﹣2<m<0.再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y= x+4,于是得出H(m, m+4).当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时,由于∠PGB=∠DEH=90°,所以分两种情况进行讨论:①△BGP∽△DEH;②△PGB∽△DEH.都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式,进而求出m的值.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质,需要了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了解学生对三种国庆活动方案的意见,对该校学生进行了一次抽样调查(被调查学生至多赞成其中的一种方案),现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中共调查了名学生;扇形统计图中方案1所对应的圆心角的度数为度;
(2)请把条形统计图补充完整;
(3)已知该校有1000名学生,试估计该校赞成方案1的学生约有多少人?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(10分)在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄,甲、乙两人同时分别从A、B两村出发,甲骑摩托车,乙骑电动车沿公路匀速驶向C村,最终到达C村.设甲、乙两人到C村的距离y1,y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,请回答下列问题:
(1)A、C两村间的距离为________km,a=________;
(2)求出图中点P的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)乙在行驶过程中,何时距甲10km?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】根据提示填空(8分)
如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=80°.将求∠AGD的过程填写完整.
因为EF∥AD
所以∠2=____(____________________________)
又因为∠1=∠2
所以∠1=∠3(______________)
所以AB∥_____(_____________________________)
所以∠BAC+______=180°(_____________________)
因为∠BAC=80° 所以∠AGD=_______
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】食品安全是老百姓关注的话题,在食品中添加过量的添加剂对人体有害,但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂,A饮料每瓶需加该添加剂2克,B饮料每瓶需加该添加剂3克,已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶,问A、B两种饮料各生产了多少瓶?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,边长为4的正方形ABCD绕点D逆时针旋转30°后能与四边形A′B′C′D′重合.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)四边形A′B′C′D′,是怎样的图形?面积是多少?
(3)求∠C′DC和∠CDA′的度数;
(4)连接AA′,求∠DAA′的度数.
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