Question

如图，在△ABC中，AB=AC，

（1）若P是BC边上的中点，连结AP，求证：BP×CP=AB²一AP²；
（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗?若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论？

Answer 1

（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB²=BP²+AP²，即AB²-AP²=BP²，而BP=CP，易得BP•CP=BP²，那么此题得证；（2）成立；（3）AP²-AB²=BP•CP．

试题分析：（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB²=BP²+AP²，即AB²-AP²=BP²，而BP=CP，易得BP•CP=BP²，那么此题得证；
（2）成立．连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三线合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB²=AD²+BD²，同理有AP²=AD²+DP²，易求AB²-AP²的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BP•CP，从而可证AB²-AP²=BP•CP；
（3）AP²-AB²=BP•CP．连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三线合一定理可知
BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分别表示AP²、AB²，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
易求BP•CP的值，从而可证AP²-AB²=BP•CP．
（1）连接AP

∵AB=AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP=CP， 
在Rt△ABP中，AB²=BP²+AP²，
∴AB²-AP²=BP²，
又∵BP=CP，
∴BP•CP=BP²，
∴AB²-AP²=BP•CP；
（2）成立．
如右图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD， 
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
同理，AP²=AD²+DP²，
∴AB²-AP²=AD²+BD²-（AD²+DP²）=BD²-DP²，
又∵BP=BD+DP，CP=CD-DP=BD-DP，
∴BP•CP=（BD+DP）（BD-DP）=BD²-DP²，
∴AB²-AP²=BP•CP；
（3）AP²-AB²=BP•CP．
如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²，
∴AP²-AB²=（AD²+BD²）-（AD²+DP²）=PD²-BD²，
又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP²-BD²，
∴AP²-AB²=BP•CP．
点评：本题综合性强，难度较大，用BD、DP的和差来表示BP和CP是解题的关键.