【题目】如图,将放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.
Ⅰ的面积等于______;
Ⅱ若四边形DEFG是中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法不要求证明________________.
【答案】6 见解析
【解析】
(Ⅰ)△ABC以AB为底,高为3个单位,求出面积即可;
(Ⅱ)作出所求的正方形,如图所示,画图方法为:取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求
解:(Ⅰ)△ABC的面积为:;
(Ⅱ)如图,取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,
则四边形DEFG即为所求.
证明:根据题意得当正方形DEFG各个顶点都在△ABC的边上时,其面积才有可能最大,则必有两点在三角形一边上,此时四边形内接于三角形,
根据三角形内接正方形的性质,锐角三角形的最大内接正方形是以三角形的最短边为底形成的正方形,
如图所示作出符合要求的四边形DEFG,
可知:DG∥AQ∥EF∥PC,DE∥GF,
∴四边形DEFG是平行四边形,
且△DGQ∽△PCQ,△ADE∽△ACB,△CDP∽△ADQ,
∴,,,
则DG=,DE=,
∵PC⊥BC,
∴DG⊥GF,
则四边形DEFG是矩形,
∵PC=BC,,
∴DG=
=,
=
=
=
=
=DE,
∴矩形DEFG是正方形.
故答案为:(Ⅰ)6;(Ⅱ)取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求.
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【题目】已知二次函数C:y=(x﹣2)2﹣2(0≤x≤3),点P在二次函数C的图象上,点A为x轴正半轴上一点,若tan∠AOP=1,则点P的坐标为_____.
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【题目】如图,抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0)和B(b,0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D,下列四个判断:①当x>0时,y>0;②当x>1时,y随x的增大而减少;③m>-1;④当a=-1时,b=3;其中,判断正确的序号是( )
A.①②B.②③C.①③D.②③④
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【题目】把△ABC放置在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-6,0),点C的坐标为(8,0),M,N分别是线段AB,AC上的点,将△AMN沿直线MN翻折后,点A落在x轴上的A′处.
Ⅰ当MN∥x轴时,判断△A'CN的形状.
Ⅱ如图,当A'M⊥AB时.
①求A'的坐标;②求MN的长.
Ⅲ当△A'MB是等腰三角形时,直接写出A'的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)若BA⊥AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
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【题目】我们知道,如图1,AB是⊙O的弦,点F是的中点,过点F作EF⊥AB于点E,易得点E是AB的中点,即AE=EB.⊙O上一点C(AC>BC),则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”.
(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF⊥AC于点E,求证:点E是“折弦ACB”的中点,即AE=EC+CB.
(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若成立说明理由;若不成立,那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系?直接写出,不必证明.
(3)如图4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2,过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H,交AB于点M,当∠PAB=45°时,求AH的长.
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【题目】下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:直线l及直线l外一点P.
求作:直线,使得.
作法:如图,
①任意取一点K,使点K和点P在直线l的两旁;
②以P为圆心,长为半径画弧,交l于点,连接;
③分别以点为圆心,以长为半径画弧,两弧相交于点Q(点Q和点A在直线的两旁);
④作直线.
所以直线就是所求作的直线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:连接,
______,______,
四边形是平行四边形(__________)(填推理依据).
.
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【题目】延迟开学期间,学校为了全面分析学生的网课学习情况,进行了一次抽样调查(把学习情况分为三个层次,:能主动完成老师布置的作业并合理安排课外时间自主学习;:只完成老师布置的作业;:不能完成老师布置的作业),并将调查结果绘制成图1和图2的统计图(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了__________名学生;
(2)将条形图补充完整;
(3)图2中所占的圆心角的度数为__________度;
(4)如果学校开学后对层次的学生进行奖励,根据抽样调查结果,请你估计该校1600名学生中大约有多少名学生能获得奖励?
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