Question

已知：抛物线y=ax²+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）依题意，抛物线的对称轴为x=﹣2， ∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣1，0）， ∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0）； （2）∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0） ∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+t=0 ∴t=3a ∴y=ax2+4ax+3a ∴D（0，3a） ∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上， ∵C（﹣4，3a） ∴AB=2，CD=4 ∵梯形ABCD的面积为9 ∴（AB+CD）·OD=9 ∴（2+4）|3a|=（AB+CD）·OD=9 ∴a±1 ∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=﹣x2﹣4x﹣3； （3）设点E坐标为（x0，y0），依题意，x0＜0，y0＞0，且 ∴y0=﹣x0 ①设点E在抛物线y=x2+4x+3上， ∴y0=x02+4x0+3 解方程组得， ∵点E与点A在对称轴x=﹣2的同侧 ∴点E坐标为（，）， 设在抛物线的对称轴x=﹣2上存在一点P，使△APE的周长最小， ∵AE长为定值， ∴要使△APE的周长最小，只须PA+PE最小 ∴点A关于对称轴x=﹣2的对称点是B（﹣3，0） ∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=﹣2的交点 设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n ∴，解得 ∴直线BE的解析式为y=x+ ∴把x=﹣2代入上式，得y= ∴点P坐标为（﹣2，） ②设点E在抛物线y=﹣x2﹣4x﹣3上 ∴y0=﹣x02﹣4x0﹣3， 解方程组消去y0， 得 ∴△＜0 ∴此方程无实数根， 综上，在抛物线的对称轴上存在点P（﹣2，），使△APE的周长最小。