Question

如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，D、E都在直线BC上，并且∠DAE=120°
（1）设BD=x，CE=y，求y与x直间的函数关系式；
（2）在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明）
（3）改变原题的条件为AB=AC=2，∠BAC=β，∠DAE=α，α、β之间要满足什么样的关系，能使（1）中y与x的关系式仍然成立？说明理由．

Answer 1

分析：（1）可以证明△ABD∽△ECA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（2）当2α-β=180°时，y与x的关系式仍然成立，可以首先证明△ADB∽△EDA且△EDA∽△EAC，即可证明△ADB∽△EAC，根据相似三角形对应边的比相等即可证明．

解答：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABD=∠ACE=120°，
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
又∵∠DAB+∠D=∠ABC=60°，
∠CAE=∠D，
∴△ABD∽△ECA，
∴

AB

CE

=

BD

AC

，
∴xy=4，
∴y=

4

x

；（5分）

（2）3对；
△DAE∽△ACE，△DAE∽△DBA，△DAB∽△AEC；（7分）

（3）当2α-β=180°时，y与x的关系式仍然成立．
∵AB=AC，∠BAC=β，
∴∠ABC=90°-

1

2

∠BAC=90°-

1

2

β，
∴∠ABD=180°-（90°-

1

2

β）=90°+

1

2

β，
∵2α-β=180°，
∴α=90°+

1

2

β，
∴∠DAE=∠ABD，
∵∠D=∠D，
∴△ADB∽△EDA，
同理：△EDA∽△EAC，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

CE

=

BD

AC

，
∴xy=4，
∴y=

4

x

．（12分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，正确判定三角形相似是解题的关键．