Question

11．探索发现：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）利用你发现的规律计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n×（n+1）}$
（3）灵活利用规律解方程：$\frac{1}{x（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+4）}$+…+$\frac{1}{（x+98）（x+100）}$=$\frac{1}{x+100}$．

Answer 1

分析 （1）利用分式的运算和题中的运算规律求解；
（2）利用前面的运算规律得到原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，然后合并后通分即可；
（3）利用前面的运算规律方程化为$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+4}$+…+$\frac{1}{x+98}$-$\frac{1}{x+100}$）=$\frac{1}{x+100}$，然后合并后解分式方程即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+4}$+…+$\frac{1}{x+98}$-$\frac{1}{x+100}$）=$\frac{1}{x+100}$，
$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+100}$）=$\frac{1}{x+100}$
$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+100}$=$\frac{2}{x+100}$，
$\frac{1}{x}$=$\frac{3}{x+100}$，
解得x=50，
经检验，x=50为原方程的根．
故答案为$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查了解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．理解分式的计算规律：$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．