Question

已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B（4，0），C（0，12）两点．
（1）求k，b的值；
（2）若P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？这样的P点有几个？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：计算题

分析：（1）将B与C坐标代入直线解析式求出k与b的值即可；
（2）存在三个这样的点P，使△POB为等腰三角形，分三种情况考虑：当P₁O=PB时，当BP₂=BO=4时，当OP₃=OB=4时，分别求出P坐标即可．

解答：解：（1）将B（4，0），C（0，12）代入直线解析式得：

4k+b=0 b=12

，
解得：k=-3，b=12；

（2）由（1）得到直线解析式为y=-3x+12，
当P₁O=PB时，P₁横坐标为2，将x=2代入直线解析式得：y=6，此时P₁（2，6）；
当BP₂=BO=4时，作P₂Q⊥x轴，可得△BP₂Q∽△BCO，
∴

P2Q

CO

=

BP2

BC

，即

P2Q

12

=

4

4 10

，
∴P₂Q=

6 10

5

，即P₂的纵坐标为

6 10

5

，
将y=

6 10

5

代入直线解析式得：x=4-

2 10

5

，
此时P₂（4-

2 10

5

，

6 10

5

）；
当OP₃=OB=4时，设P₃（x，-3x+12），
根据勾股定理得：x²+（-3x+12）²=4²，
解得：x=

16

5

或x=4（不合题意，舍去），
此时P₃坐标为（

16

5

，

12

5

），
综上，存在三个这样的点P，使△POB为等腰三角形，坐标分别为（2，6）或（4-

2 10

5

，

6 10

5

）或（

16

5

，

12

5

）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．