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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，直角梯形OABC中，∠COA=90°，BC∥OA，OA=6，BC=3，AB=3
    		5
    ，已知抛物线经过O、A、B精英家教网三点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）平行与y轴的直线l从点O向终点A匀速运动，速度是每秒1个单位长，运动时间为t秒．直线l交折线段OBA于点D，交抛物线于点E．问：当t为何值时，线段DE有最大值？最大值是多少？
    （3）探索：坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）过点B作BK⊥OA，由直角梯形OABC中，∠COA=90°，BC∥OA，OA=6，BC=3，AB=3
    		5
    ，即可求得点B的坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+bx，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
    （2）首先利用待定系数法求得直线OB与AB的解析式，再分别从当点D在OB上时与当点D在AB上时去分析，即可求得答案；
    （3）由菱形的性质，分别从以CD，BD，BC为对角线去分析即可求得答案．
    解答：精英家教网解：（1）过点B作BK⊥OA，
    ∵直角梯形OABC中，∠COA=90°，BC∥OA，OA=6，BC=3，AB=3
    		5
    ，
    ∴OK=BC=3，
    ∴AK=OA-OK=6-3=3，
    在Rt∧ABK中：BK=
    		AB2-AK2
    =6，
    ∴点B的坐标为（3，6），
    ∵抛物线过点O，
    ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
    ∴
    36a+6b=0
    9a+3b=6
    ，
    解得：
    a=-
    2
    3
    b=4
    ，
    ∴抛物线的解析式为：y=-
    2
    3
    x2+4x    ；

    （2）设直线OB的解析式为：y=mx，
    ∴3m=6，
    ∴m=2，
    ∴直线OB的解析式为：y=2x；
    设直线AB的解析式为：y=kx+b，
    ∴
    6k+b=0
    3k+b=6
    ，
    解得：
    k=-2
    b=12
    ，
    ∴直线AB的解析式为：y=-2x+12，
    当点D在OB上时，
    DE=-
    2
    3
    x2+4x-2x=-
    2
    3
    x2+2x=-
    2
    3
    （x-
    3
    2
    ）2+
    3
    2
    ，
    ∴当t=
    3
    2
    时，DE的最大值是
    3
    2
    ，
    当点D在AB上时，
    DE=-
    2
    3
    x2+4x+2x-12=-
    2
    3
    x2+6x-12=-
    2
    3
    （x-
    9
    2
    ）2+
    3
    2
    ，
    ∴当t=
    9
    2
    时，DE的最大值是
    3
    2
    ，
    ∴t为
    3
    2
    或
    9
    2
    时，DE的最大值是
    3
    2
    ；

    （3）存在：当D点在OB上时，以CD，BD，BC为对角线作出来图形，可得到三个菱形；当D点在OA上时，还可以得到一个菱形，得出：F1（-
    3
    5
    		5
    ，6-
    6
    5
    		5
    ）；F2（
    3
    2
    ，9）；F3（
    24
    5
    ，
    18
    5
    ）；F4（
    3
    5
    		5
    ，6-
    6
    5
    		5
    ）．
    点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数与一次函数的综合应用以及菱形的性质等知识．题目综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．
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    如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=
    1
    4
    OA=
    		2
    ，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
    精英家教网
    （1）直接写出D点的坐标；
    （2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
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    k
    x
    过点F，与AB交于E点，连EF，若
    BF
    OA
    =
    2
    3
    ，S△BEF=4，则k=
     
    ．

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    kx
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    ．

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    1
    4
    OA=
    		2
    ，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
    （1）直接写出D点的坐标；
    （2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
    （3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．

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    		2
    ，OC=
    3
    2
    		2
    ，
    ∠OAB=45°，D是BC上一点，CD=
    3
    2
    		2
    ．E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y．
    （1）AB=
     
    ，BC=
     
    ，∠DOE=
     
    ；
    （2）证明△ODE∽△AEF，并确定y与x之间的函数关系；
    （3）当AF=EF时，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF，求△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．
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