Question

17．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=$\sqrt{10}$，tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，点B的坐标为（m，-2）．
（1）反比例函数的解析式是y=$\frac{3}{x}$．
（2）在y轴上存在一点，使得△PDC与△ODC相似，请你求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）因为OA，tan∠AOC的值已知，所以可过A作AE垂直x轴，垂足为E，利用三角函数和勾股定理即可求出AE=1，OE=3，从而可知A（3，1），又因点A在反比例函数的图象上，由此可求出开k=3，从而求出反比例函数的解析式；
（2）因为在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以有△PDC∽△CDO，而点C、D分别是一次函数的图象与x轴、y轴的交点，进而可求出PD，OP的长得出P点坐标．

解答 解：：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，
∵tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，
∴OE=3AE，
∵OA=$\sqrt{10}$，OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3
∴点A的坐标为（3，1）．
∵A点在双曲线上，
∴$\frac{k}{3}$=1，
∴k=3．
∴双曲线的解析式为y=$\frac{3}{x}$，
故答案为：y=$\frac{3}{x}$；

（2）∵点B（m，-2）在双曲线y=$\frac{3}{x}$上，
∴-2=$\frac{3}{m}$，
∴m=-1.5．
∴点B的坐标为（-1.5，-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{1.5a+b=-2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-1；
过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=$\frac{2}{3}$x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（1.5，0），D（0，-1）．
即：OC=1.5，OD=1，
∴DC=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵△PDC∽△CDO，
∴$\frac{PD}{DC}=\frac{DC}{OD}$，
∴PD=$\frac{13}{4}$，
又∵OP=DP-OD=$\frac{9}{4}$，
∴P点坐标为（0，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查的是反比例函数，此类题目往往和三角函数相联系，在考查学生待定系数法的同时，也综合考查了学生的解直角三角形、相似三角形的知识，是数形结合的典型题例，它的解决需要学生各方面知识的灵活运用．