Question

【题目】如图1，一次函数y=﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大，设运动时间为t（s）

（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　，∠OAB=　 　°；

（2）在运动过程中，点P的坐标为　 　，⊙P的半径为　 　（用含t的代数式表示）；

（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时

①如图2，求t=时，弦EF的长；

②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（利用图1解题）．

Answer 1

【答案】（1）（10，0），（0，10），45°．（2）（1+2t，0），1+t．（3）.

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出点A、B的坐标，即可解决问题．
（2）根据题意可得P（1+2t，0），⊙O半径为1+t．
（3）①如图1中，作PK⊥AB于K，连接PE．在Rt△APK中，由∠PKA=90°，∠PAK=45°，PA=4，推出PK=PA=2 ，在Rt△PEK中，根据EK=计算即可．
②分两种情形a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°；b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°．分别列出方程求解即可.

试题解析：

解：（1）∵y=﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B，

∴A（10，0），B（0，10），

∴OA=OB=10，

∵∠AOB=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

故答案分别为（10，0），（0，10），45°．

（2）由题意P（1+2t，0），⊙O半径为1+t，

故答案分别为（1+2t，0），1+t．

（3）①如图1中，作PK⊥AB于K，连接PE．

当t=时，P（6，0），半径为3.5，

在Rt△APK中，∵∠PKA=90°，∠PAK=45°，PA=4，

∴PK=，PA=2，

在Rt△PEK中，EK==，

∴EF=2EK=．

②存在．

a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°

∵OP+PA=OA，

∴1+2t+1+t=10，

∴t=．

b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°．

由OP﹣PF=OA，

∴1+2t﹣（1+t）=10，

∴t=10，

综上所述，t=s或10s时，存在以点P为直角顶点的Rt△PEF．