Question

如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣h）²+k
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）
∴y=a（x﹣4）²+k，=16a+k①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6
∴A（1，0），B（7，0）
∴0=9a+k②
由①②解得a=，k=﹣
∴二次函数的解析式为：y=（x﹣4）²﹣
（2）∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，
又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴
∴点P的坐标为（4，）
（3）由（1）知点C（4，），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N
如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°
∴QN=3，BN=3，ON=10，
此时点Q（10，），
如果AB=AQ，由对称性知Q（﹣2，）
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是（4，），
经检验，点（10，）与（﹣2，）都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为（10，）或（﹣2，）或（4，）．