Question

如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，点B在x轴的正半轴上，E、F分别是AD、BC的中点，点M在DC上．将△ADM沿AM折叠，点D折叠后恰好落在EF上的点P处．
（1）求∠EAP的度数；
（2）求折痕AM所在直线的函数关系式；
（3）设H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：在直角三角形APE中，利用锐角三角函数求得∠EAP的度数即可．

解答：解：
（1）在Rt△AEP中，AE=2，AP=4，
∴cos∠EAP=

AE

AP

=

1

2

．
∴∠EAP=60°．

（2）∵翻折，且∠EAP=60°，∴∠DAM=∠MAP=30°．
∴DM=ADtan30°=

4

3

3

．
∴M（

4

3

3

，4）．
∴折痕AM所在直线的函数关系式为y=

3

x．（6分）

（3）H点的坐标为：
（-2，-2

3

）或（

2

3

3

，2）或（2，2

3

）或（2

3

，6）．（10分）

点评：本题考查了一次函数的综合知识，题目难度适中，此类题目常出现在中考题的倒数第2-3题上．