Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC= =5，
分三种情况：
①CD=BD时，∠C=∠DBC，
∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠A=∠DBA，
∴BD=AD，
∴CD=AD= AC=2.5，即t=2.5；
②当CD=BC时，CD=3，即t=3；
③当BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，如图所示：

则CF=DF，△ABC的面积= ABBC= ACBF，
∴BF= =2.4，
∴CF= = =1.8，
∴CD=3.6，即t=3.6．
综上所述：当运动时间t为2.5或3或3.6秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．
【解析】根据已知条件，利用勾股定理求出AC的长，要判断以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论：①CD=BD时，∠C=∠DBC，②当CD=BC时③当BD=BC时，分别求出运动时间t的值即可。