如图.BD是正方形ABCD的对角线.BC=2.动点P从点B出发.以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动.同时动点Q从点C出发.以相同的速度沿射线BC运动.当点P出发后.过点Q作QE⊥BD.交直线BD于点E.连结AP.AE.PE.QE.设运动时间为t(秒)．(1)请直接写出动点P运动过程中.四边形APQD是什么四边形?(2)请判断AE.PE之间的数量关系和位置关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿射线BC运动，当点P出发后，过点Q作QE⊥BD，交直线BD于点E，连结AP、AE、PE、QE，设运动时间为t（秒）．
（1）请直接写出动点P运动过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断AE，PE之间的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）设△EPB的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
（4）直接写出△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值．

分析（1）由正方形的性质和已知条件得出∠ABE=∠EBQ=45°，AD∥BQ，AD=BC=2，BP=CQ，得出BC=AD=PQ，即可证出四边形APQD是平行四边形；
（2）证出BE=QE，由SAS证明△AEB≌△EPQ，得出AE=PE，∠AEB=∠PEQ，得出∠AEP=∠BEQ=90°，即可得出AE⊥PE；
（3）过E作EF⊥BC与F，BQ=t+2，EF=$\frac{t+2}{2}$，得出y=$\frac{1}{2}$×$\frac{t+2}{2}$×t，即可得出答案；
（4）分两种情况：①当P在BC延长线上时，作PM⊥QE于M，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ=$\sqrt{2}$，BE=QE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t+2），求出DE=BE-BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}$，由三角形面积关系和面积公式得出方程，解方程即可；
①当P在BC边上时，解法同①，此时DE=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，由三角形面积关系和面积公式得出方程，解方程即可．

解答解：（1）四边形APQD是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，P、Q速度相同，
∴∠ABE=∠EBQ=45°，AD∥BQ，AD=BC=2，BP=CQ，
∴BC=AD=PQ，
∴四边形APQD是平行四边形；
（2）AE=PE，AE⊥PE；理由如下：
∵EQ⊥BD，∴∠PQE=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠EBQ=∠PQE=45°，
∴BE=QE，
在△AEB和△EPQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=PQ}&{\;}\\{∠ABE=∠PQE}&{\;}\\{BE=QE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△EPQ（SAS），
∴AE=PE，∠AEB=∠PEQ，
∴∠AEP=∠BEQ=90°，
∴AE⊥PE；
（3）过E作EF⊥BC于F，如图1所示：
BQ=t+2，EF=$\frac{t+2}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{t+2}{2}$×t，
即y=$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t；
（4）分两种情况：①当P在BC延长线上时，作PM⊥QE于M，如图2所示：
∵PQ=2，∠BQE=45°，
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ=$\sqrt{2}$，BE=QE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t+2），
∴DE=BE-BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t+2）-2$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}$，
∵△EPQ的面积积是△EDQ面积的2倍，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t+2）×$\sqrt{2}$=2×$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t+2），
解得：t=3或t=-2（舍去），
∴t=3；
①当P在BC边上时，解法同①，此时DE=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∵△EPQ的面积积是△EDQ面积的2倍，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t+2）×$\sqrt{2}$=2×$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t+2），
解得：t=1或t=-2（舍去），
∴t=1；
综上所述，△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值为：1或3．

点评本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度．

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